複利

今天討論一個問題，要投資多久的時間之後，產生的利息會超越投資的數額， 研究這個問題只是出於好奇，對投資活動不會有什麼用處。 如果每個月定期定額投資10000元，n個月後的投資總額就是10000×n元， 但跟據未來值的計算，資產數值會超過10000×n, 兩者的差距就是投資帶來的利息， 什麼時候利息會超過10000×n，也就是複利的拐點什麼時候到來呢? 定期定額投資的數額對最終結果是線性的 未來值的計算有3個影響參數: 投入的數額、投資報酬率、和投資時間長度， 其中會影響指數計算結果的只有投資報酬率和投資時間長度， 投入的數額只有加乘作用，這個特性可以直接從公式看出來， 我們也可以驗算一下，假設每個月定期定額投資10000元，投資報酬率7%, 10年之後會變成1730848元 >>> import numpy_financial as npf >>> npf.fv(0.07/12, 10*12, -10000, 0) 1730848.0743353704 如果改成每個月定期定額投資加倍，變成20000元，投資報酬率一樣是7%， 10年之後變成3461696，最終數字也是加倍而已。 >>> npf.fv(0.07/12, 10*12, -20000, 0) 3461696.148670741 也就是說，在計算複利拐點時，定期定額的數額並不會影響計算結果。 投資報酬率7%時的複利拐點 理解上述的理由後，我們就直接假設每個月定期定額投資10000元， 然後寫個小程式來算出複利拐點： import numpy_financial as npf rate = 0.07 monthly_investment = -10000 done = False num_month = 1 while not done: total_asset = npf.fv(rate/12, num_month, monthly_investment, 0) total_investment = abs(monthly_investment) * num_month profit = total_asset - total_investment num_year = num_month / 12 if profit >= total_investment: done = True print(f"{num_month} {num_year:....

TL;DR 比照房貸的作法，雙方一開始就制定還款計畫，每月還款 當我們有些積蓄後，難免遇到親友來借錢的情況， 借錢的理由不外乎是買房子和創業等等，借款金額都是以百萬為單位在算的， 我們也聽過不少鬼故事，網友們更直接建議不要期待太多，要有作功德的心理準備； 要是親友沒跑路，還了至少一部分款項，就算幸運了。 從借方來講， 找親友借錢要背負人情壓力，這個人情壓力可以很沉重的， 我認識一個朋友，他寧願去借高利貸去週轉，也不向家人借錢，可見一般。 直覺上，向親友借錢的還款方式是像公債一樣， 雙方議定了金額（假設是 100 萬）、利率（假設是 1.5%) 和借幾年後（假設借 5 年）， 之後 5 年裡，每年付利息 15000 元給債權人， 最後一年還本金，所以最後一年要付共 1015000 元， 這個金額很大，當初之所以要借錢，就是因為沒錢，實在是難以期待借貸方在 5 年後就有 100 萬元。 除此之外，債權人每年收一次利息，這個反饋週期太長，如果借貸方財務出了狀況， 債權人有可能會錯失處理債務的黃金時機。 改用房貸還款方式 如果我們改用還房貸的作法來處理這個借貸，情況就會不一樣， 首先，Google一下「房貸試算」，現在許多銀行都有這個線上服務，挑一個使用就好了， 然後打進上述的條件：金額 100 萬，借 5 年，單一利率 1.5%，選本息平均攤還， 就可以算出前 59 個月要還 17310 元，第 60 個月還 17305 元。 從債務人來看，每個月還約一萬七，相較於在最後一年還一百多萬，壓力就小多了； 從債權人來看，每個月的還款表示這項借貸還在順利進行中， 要是款項沒有收到或收齊，也能快點掌握情況和早點介入，讓事情不致失控。

TL;DR 如果重點劃在「每天」，答案是 Yes。 如果重點放在「咖啡」，答案是 No, 因為同一筆錢如果沒花在咖啡上，也會以其他名目花掉。 留意自己的固定開銷，那怕每個月只省下一些錢，長期下來對財務的幫助很大。 這是老題目了，有部分人是認為省下咖啡錢對財務沒什麼幫助，即使是重度使用者， 一個月花 3000 元喝咖啡，一年也只省下 36000 元，大約可以買台中等性能的筆電， 算不上了不起的成就。 如果有機會成本和定期定額投資的概念，結論會完全不一樣， 在 Future Value 未來值 介紹過怎麼算未來值，現在我們把問題換成 每月定期定額投資 3000 元，年化報酬率設定為 7%，20 年後會變成多少錢? 答案是約 156 萬元！差不多是一戶 800 萬房子的頭期款。 >>> import numpy_financial as npf # 月報酬率=0.97/12, 20年共20*12期 >>> npf.fv(0.07/12, 20*12, -3000, 0) 1562779.979476553 顯然，這是時間和複利的力量，和咖啡無關。 接下來，我們套用相同的概念，看怎麼怎麼讓自己的財務越來越好。 檢視固定開銷 現代生活有許多固定開銷，有部分是我們覺得自己需要，但其實用不到那麼多，這部分的錢就可以省下來。 比方說，手機門號可以不用吃到飽的699，只用基本的199； 沒有常常在看 4K 串流影片的話，家裡網路就不用太快的，改用慢一點的就可以； 咖啡改買15元的濾泡；沒有必要的話，省下健身房會員、取消或降級各種定閱， 一個月下來，可以省下不少錢。 高配款 基本款 省下的錢 手機月付 699 199 500 家用網路費 1299 650 649 咖啡 3000 450 2550 Netflix 460 290 170 健身房月費 1000 0 1000 google drive定閱 650 65 585 chatgpt定閱 600 0 600 總計 6054 再用未來值計算一次，20 年後變成 315 萬，差不多是 1600 萬房子的頭期款。...

TL;DR 在做財務規畫時，使用財務函式會產生出具體數字作為參考，執行上才不會過度保守或激進。 由於利息和通貨澎脹的存在，錢這個東西在相同的時間下比較才公平， 只是我們有時候會忘了這一點，即使想到， 也會因為計算過程中有指數運算而乾脆不算了， 不管原因是什麼，沒能把錢算清楚通常意味著要付出超出合理範圍的錢。 財務函式都是複利計算，以前我們在國中學到如何使用複利公式算出錢的未來數額，其他的情況學校就沒有教了； 這裡列了幾個常用的財務函式，這些財務函式在 excel 或 google spreadsheet 裡都有， 因為我是唸Computer Science的，所以我自己是偏好使用 Python 計算而不是使用現成的軟體， 以下列子都是使用numpy_financial這個套件，可以用 pip 自行安裝。 pip install --user numpy_financial 不管是 Python 套件還是excel/google spreadsheet, 函式名字都一樣，只有在操作上不同， 例如，如果想知道怎麼在excel裡計算未來值的話， 上網查「excel fv」就可以了。 在使用函式時，會把流出的金錢用負數表入（例如付款、投資），流入的金錢用正數表示（例如利息、股利），這一點要先習慣。 Future Value 未來值 未來值就是複利的結果，fv的參數有 fv(利率, 期數, 每期投入金額, 期初金額) 這裡的意思是 利率：通常是投資報酬率或者是通貨澎脹率 期數：複利多少次 每期投入金額：數值為0的話對應回標準的複利公式，若不為0對應到定期定額投資 期初金額：初始投入 讓我們實驗一下 >>> import numpy_financial as npf # (簡單測試用) 年利率7%, 投入10萬元，一年後變成是107000元 >>> npf.fv(0.07, 1, 0, -10_0000) # 流出的錢用負數表示，故最後一個參數是負的 107000.0 # 年利率7%, 投入10萬元，10年後變成 >>> npf....

TL;DR 翻倍時間 = 72 / 投資報酬率百分比 72 法則（Rule of 72）用來速算在複利成長下資產翻倍所需的大約時間， 只要心算就可以，不需要動用到計算機；只要算 72 除以年化報酬率的百分比數字就可以， 例如年化報酬率是7%的話，72 法則算出來大約需要 72/7 ≅ 10.2 年達到翻倍， 而公式計算則是解 $1.07^y = 2$ 這個式子，兩邊取 log 可算出 $y = \log_{1.07}2 = 10.244$。 下表是 72 法則在年化報酬率從 1% 到 12% 的結果，可以看出來算出來的結果和正解很接近。 年化報酬率 72法則 正解 誤差 1% 72.0 69.7 3.36% 2% 36.0 35.0 2.85% 3% 24.0 23.4 2.35% 4% 18....