複利拐點：定期定額多久才能超過主動投資數額

今天討論一個問題，要投資多久的時間之後，產生的利息會超越投資的數額， 研究這個問題只是出於好奇，對投資活動不會有什麼用處。

如果每個月定期定額投資10000元，n個月後的投資總額就是10000×n元， 但跟據未來值的計算，資產數值會超過10000×n, 兩者的差距就是投資帶來的利息， 什麼時候利息會超過10000×n，也就是複利的拐點什麼時候到來呢?

定期定額投資的數額對最終結果是線性的

未來值的計算有3個影響參數: 投入的數額、投資報酬率、和投資時間長度， 其中會影響指數計算結果的只有投資報酬率和投資時間長度， 投入的數額只有加乘作用，這個特性可以直接從公式看出來， 我們也可以驗算一下，假設每個月定期定額投資10000元，投資報酬率7%, 10年之後會變成1730848元

>>> import numpy_financial as npf
>>> npf.fv(0.07/12, 10*12, -10000, 0)
1730848.0743353704

如果改成每個月定期定額投資加倍，變成20000元，投資報酬率一樣是7%， 10年之後變成3461696，最終數字也是加倍而已。

>>> npf.fv(0.07/12, 10*12, -20000, 0)
3461696.148670741

也就是說，在計算複利拐點時，定期定額的數額並不會影響計算結果。

投資報酬率7%時的複利拐點

理解上述的理由後，我們就直接假設每個月定期定額投資10000元， 然後寫個小程式來算出複利拐點：

import numpy_financial as npf

rate = 0.07
monthly_investment = -10000

done = False
num_month = 1
while not done:
    total_asset = npf.fv(rate/12, num_month, monthly_investment, 0)
    total_investment = abs(monthly_investment) * num_month
    profit = total_asset - total_investment
    num_year = num_month / 12
    if profit >= total_investment:
        done = True
    print(f"{num_month} {num_year:.1f} {total_investment} {total_asset:.0f} {profit:.0f}")
    num_month += 1

整理一下輸出內容如下，複利拐點在第217個月(約18年)後到來。

其他投資報酬率的複利拐點

其他投資報酬率也是用相同方法算出來，整理如下， 可以看出來，投資報酬率對複利拐點有邊際遞減效應， 投資報酬率從1%變成2%的話，複利拐點時間直接少一半, 相對的，投資報酬率從19%變成20%的話，複利拐點時間只減少4個月。