72 法則

72 法則（Rule of 72）用來速算在複利成長下資產翻倍所需的大約時間， 只要心算就可以，不需要動用到計算機；只要算 72 除以年化報酬率的百分比數字就可以， 例如年化報酬率是7%的話，72 法則算出來大約需要 72/7 ≅ 10.2 年達到翻倍， 而公式計算則是解 $1.07^y = 2$ 這個式子，兩邊取 log 可算出 $y = \log_{1.07}2 = 10.244$。

下表是 72 法則在年化報酬率從 1% 到 12% 的結果，可以看出來算出來的結果和正解很接近。

72 法則是怎麼來的

以下是給愛智求真的朋友看的，對數學沒興趣的可以直接跳過，平常我們只要知道怎麼使用 72 法則就好。

溫韾提醒：不要在心儀的異性前嘗試推導 72 法則。

正題開始，假設本金為a, 年化報酬率為r, 過了 y 年之後翻倍變成 2a，跟據複利公式，可以寫成

$$ \cancel{a} \times (1 + r)^y = 2 \times \cancel{a} $$

兩邊取自然對數，再整理一下，變成

$$ y = \frac{\ln 2}{\ln (1 + r)} = \frac{0.69}{\ln(1+r)} $$

跟據泰勒展開式，$\ln(1+r)$ 可以用

$$ \ln(1+r) = r - \frac{r^2}{2} + \frac{r^3}{3} - \frac{r^4}{4} + \cdots $$

由於我們只考慮 r 是 0.01 這樣的小數字，第一項 r 佔了 $\ln (1+r)$ 的大部分，其餘項都可以視為0, 所以式子變成

$$ \ln(1+r) = r - \cancel{\frac{r^2}{2}} + \cancel{\frac{r^3}{3}} - \cancel{\frac{r^4}{4}} + \cdots \approx r $$

再代回 y 的公式解，還有用$p = 100r$ 把 r 用百分比的形式表示，就推導完成了。

$$ y \approx \frac{0.69}{r} = \frac{0.69}{p/100} = \frac{69}{p} $$

咦，這樣子的話，那應該叫 69 法則才對，怎麼變成 72 了呢?

這是因為 72 可以被許多小整數整除，即使在遇到不能整除的情況（5, 7, 10, 11)，也能很快算出整數部分， 另外一個理由是日常生活裡我們並不在意小數部分，我們只要知道差不多 10 年會翻倍就滿足了。相對的， 69 在心算上會比 72 難一點點，在準度也沒有比 72 更具優勢，所以用 72 法則囉。

$$ y \approx \frac{69}{p} \approx \frac{72}{p} $$